进展问题（AP，GP，HP）详细介绍

级数(或序列和系列)是以特定顺序排列的数字, 以使它们形成可预测的顺序。所谓可预测的顺序, 是指给定一些数字, 我们可以找到该系列中的下一个数字。

算术级数(AP)

如果任意两个连续项之间的差始终相同, 则数字序列称为算术级数。简而言之, 这意味着该系列中的下一个数字是通过将固定数字添加到该系列中的前一个数字来计算的。此固定数字称为共同差异。

例如, 2, 4, 6, 8, 10是AP, 因为该系列中任何两个连续项之间的差(共同差)是相同的(4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2) 。

如果" a"是第一个术语, 而" d"是常见的区别,

AP的第n个项= a +(n-1)d

算术平均值= AP中所有项的总和/ AP中项的数量

AP的" n"项总和= 0.5 n(第一项+最后一项)= 0.5 n [2a +(n-1)d]

几何级数(GP)

如果两个连续项之比始终相同, 则数字序列称为几何级数。简而言之, 这意味着该系列中的下一个数字是通过将固定数字乘以该系列中的前一个数字来计算的。该固定数字称为公用比率。

例如, 2, 4, 8, 16是GP, 因为该系列中任意两个连续项的比率(共同差)相同(4/2 = 8/4 = 16/8 = 2)。

如果" a"是第一项, 而" r"是公比,

GP的n项= rn-1

几何平均值= GP中n个项的乘积的第n个根

GP的n个项之和(r <1)= [a(1-rn)] / [1-r]

GP的'n'个项的总和(r> 1)= [a(rn – 1)] / [r – 1]

GP的无限项总和(r <1)=(a)/(1 – r)

谐波渐进(HP)

如果项的倒数在AP中, 则数字序列称为谐波级数。简而言之, 如果1 / a, 1 / b, 1 / c, 1 / d, 1 / e, 1 / f在AP中, 则a, b, c, d, e, f在HP中。

对于两个术语" a"和" b",

谐波均值=(2 a b)/(a + b)

对于两个数字, 如果A, G和H分别是算术, 几何和调和平均值, 则

• A≥G≥H
• A H = G2, 即A, G, H在GP中

样本问题

问题1：

找到AP的第n个项：11、17、23、29, ...

解决方案：

在这里, a = 11, d = 17 – 11 = 23 – 17 = 29 – 23 = 6

我们知道AP的第n个项是+(n – 1)d

=>给定AP的第n个项= 11 +(n – 1)6

=>给定AP的第n个项= 5 + 6 n

我们可以通过输入" n"来验证答案。

=> n = 1->第一项= 5 + 6 = 11

=> n = 2->第二项= 5 + 12 = 17

=> n = 3->第三项= 5 + 18 = 23

等等 …

问题2 ：

找出上述问题中AP的总和, 直到前10个词。

解决方案：

根据以上问题,

=>给定AP的第n个项= 5 + 6 n

=>第一项= 5 + 6 = 11

=>第十项= 5 + 60 = 65

=> AP的10个项的总和= 0.5 n(第一项+最后一项)= 0.5 x 10(11 + 65)

=> AP的10个项的总和= 5 x 76 = 380

问题3：

对于元素4和6, 验证A≥G≥H。

解决方案：

A =算术平均值=(4 + 6)/ 2 = 5

G =几何平均值=

= 4.8989

H =谐波均值=(2 x 4 x 6)/(4 + 6)= 48/10 = 4.8

因此, A≥G≥H

问题4：

求出32、16、8、4…至无穷级数的和。

解决方案：

第一项, a = 32

常用比率, r = 16/32 = 8/16 = 4/8 = 1/2 = 0.5

我们知道, 对于无限大的GP, 总和= a /(1 – r)

=> GP的总和= 32 /(1 – 0.5)= 32 / 0.5 = 64

问题5：

GP中三个数字的总和是26, 它们的乘积是216。

解决方案：

设数字为a / r, a, ar。

=>(a / r)+ a + a r = 26

=>一个(1 + r + r

2

)/ r = 26

同样, 给定乘积= 216

=>(a / r)x(a)x(ar)= 216

=>一个

3

= 216

=>一个= 6

=> 6(1 + r + r

2

)/ r = 26

=>(1 + r + r

2

)/ r = 26/6 = 13/3

=> 3 + 3 r + 3 r

2

= 13 r

=> 3 r

2

– 10 r + 3 = 0

=>(r – 3)(r –(1/3))= 0

=> r = 3或r = 1/3

因此, 所需的数字是2、6和18。

进展问题(AP, GP, HP)|S2

本文的贡献者：

Nishant Arora

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